Группа Лоренца

Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами).

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

$x_{\nu }'=\sum _{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },$

$x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,$

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала $s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях $xy,\ yz,\ zx$, лоренцевы преобразования $xt,\ yt,\ zt$, отражения пространственных осей $x,y,z$: $x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z$ и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы, и поэтому обозначается $O(1,3)$ (либо $O(3,1)$, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), $O(1,3;\mathbb {R} )$ или $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$, а также ${\mathcal {L}}$.

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца $SO(1,3)$ — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца $O_{\uparrow }(1,3)$ (также обозначается $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$, и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца $SO_{\uparrow }(1,3)$ — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты $x^{0}$). Группа $SO_{\uparrow }(1,3)$, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца.

Представления группы Лоренца

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат $U_{\alpha }(x)$. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: $u_{\beta }'=\sum _{\alpha }\Lambda _{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$. При этом матрица $\Lambda$ имеет ранг $\nu$, равный числу компонент величины $u_{\alpha }$. Каждому элементу группы Лоренца $P$ соответствует линейное преобразование $\Lambda (P)$, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование $\Lambda =1$, а произведению двух элементов группы Лоренца $P_{1}$ и $P_{2}$ соответствует произведение двух преобразований $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца $SO_{\uparrow }(1,3)$ можно построить при помощи спиноров.

Литература

• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
• Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
• Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
• Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.
• Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
• Artin, Emil. Geometric Algebra (англ.). — New York: Wiley, 1957.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
• Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.). — McGraw-Hill, New York, 1977.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
• Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1991.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
• Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.). — Singapore: World Scientific, 2004.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
• Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.. See also the online version  (неопр.). Дата обращения: 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
• Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.). — New York: Springer, 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7.. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
• Needham, Tristam. Visual Complex Analysis (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1997.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

См. также

• Прецессия Томаса
• Группа Пуанкаре